Ementa: Funções, gradiente e Hessiano. Teorema de Taylor. Condições de otimalidade. Teorema de Kuhn-Tucker. Lagrange e dualidade. Método do Gradiente e Newton. Método das direções conjugadas. Métodos Quasi-Newtonianos, métodos do gradiente projetado e gradiente reduzido. Métodos de penalidade e lagrangeano aumentado. Programação quadrática e métodos de Lagrange. Programação convexa.

Bibliografia: D.G. Luenberger, Linear and Nonlinear Programming, 2nd Ed., Addison Wesley, 1984. M.S. Bazaraa, H.D. Sherali, C.M. Shetty, Nonlinear Programming, 2nd Ed., John Wiley, 1993.

Conteudo Programático: 1. Fundamentos de Funções Multivariadas Revisão de Cálculo Vetorial: Conceitos de funções vetoriais e escalares, derivadas parciais e gradiente. Matriz Hessiana: Definição, propriedades e interpretação geométrica. Teorema de Taylor: Expansão de funções multivariadas e aplicações na análise de otimização.   2. Condições de Otimalidade Condições de Primeira Ordem: Pontos estaconários e interpretação geométrica. Condições de Segunda Ordem: Classificação de pontos estacionários utilizando a matriz Hessiana. Condições de Karush-Kuhn-Tucker (KKT): Formulação e aplicações em problemas com restrições.   3. Dualidade e Métodos de Lagrange Multiplicadores de Lagrange: Derivação e interpretação econômica. Dualidade: Problema dual, condições de dualidade forte e fraca. Aplicações: Resolução de problemas utilizando a teoria da dualidade.   4. Métodos de Otimização Sem Restrições Método do Gradiente: Algoritmo, convergência e aplicações. Método de Newton: Derivação, análise de convergência e limitações. Método das Direções Conjugadas: Aplicações em problemas quadráticos.   5. Métodos Quasi-Newtonianos Motivação: Necessidade de métodos que não requerem a matriz Hessiana. Algoritmos: BFGS, DFP e suas variantes. Análise de Convergência: Propriedades e desempenho comparativo.   6. Métodos para Problemas com Restrições Gradiente Projetado: Formulação e aplicações em problemas com restrições simples. Gradiente Reduzido: Aplicações em problemas com restrições lineares. Métodos de Penalidade: Penalidades interiores e exteriores. Método do Lagrangeano Aumentado: Combinação de penalidades e multiplicadores de Lagrange.   7. Programação Quadrática Definição e Aplicações: Problemas com função objetivo quadrática e restrições lineares. Métodos de Solução: Algoritmos específicos para programação quadrática. Conexão com Métodos de Lagrange: Interpretação dual e aplicações.   8. Programação Convexa Conceitos de Convexidade: Funções convexas, conjuntos convexos e propriedades. Otimização Convexa: Condições de otimalidade e dualidade em problemas convexos.  Aplicações: Problemas práticos que se enquadram na programação convexa.

Conteudo Programático em Inglês:  1. Fundamentals of Multivariate Functions Review of Vector Calculus: Concepts of vector and scalar functions, partial derivatives and gradient. Hessian Matrix: Definition, properties and geometric interpretation. Taylor's Theorem: Expansion of multivariate functions and applications in optimization analysis. 2. Optimality Conditions First Order Conditions: Critical points and geometric interpretation. Second-order conditions: Classification of critical points using the Hessian matrix. Karush-Kuhn-Tucker (KKT) conditions: Formulation and applications to problems with constraints. 3. Duality and Lagrange Methods Lagrange Multipliers: Derivation and economic interpretation. Duality: Dual problem, strong and weak duality conditions. Applications: Problem solving using duality theory. 4. Unconstrained Optimization Methods Gradient Method: Algorithm, convergence and applications. Newton's method: Derivation, convergence analysis and limitations. Method of Conjugate Directions: Applications to quadratic problems. 5. Quasi-Newtonian methods Motivation: Need for methods that do not require the Hessian matrix. Algorithms: BFGS, DFP and their variants. Convergence analysis: properties and comparative performance. 6. Methods for Problems with Constraints Projected Gradient: Formulation and applications to problems with simple constraints. Reduced Gradient: Applications to problems with linear constraints. Penalty methods: Interior and exterior penalties. Augmented Lagrangean Method: Combination of penalties and Lagrange multipliers. 7. Quadratic Programming Definition and Applications: Problems with a quadratic objective function and linear constraints. Solution Methods: Specific algorithms for quadratic programming. Connection with Lagrange methods: Dual interpretation and applications. 8. Convex Programming Convexity Concepts: Convex functions, convex sets and properties. Convex optimization: Optimality conditions and duality in convex problems. Applications: Practical problems that fall under convex programming.

Conteudo Programático em Espanhol:  1. Fundamentos de las funciones multivariantes Repaso del cálculo vectorial: Conceptos de funciones vectoriales y escalares, derivadas parciales y gradiente.  Matriz hessiana: Definición, propiedades e interpretación geométrica. Teorema de Taylor: Expansión de funciones multivariantes y aplicaciones en análisis de optimización. 2. Condiciones de optimalidad Condiciones de primer orden: Puntos críticos e interpretación geométrica. Condiciones de segundo orden: Clasificación de los puntos críticos mediante la matriz hessiana. Condiciones de Karush-Kuhn-Tucker (KKT): Formulación y aplicaciones a problemas con restricciones. 3. Dualidad y métodos de Lagrange Multiplicadores de Lagrange: Derivación e interpretación económica. Dualidad: Problema dual, condiciones de dualidad fuerte y débil. Aplicaciones: Resolución de problemas utilizando la teoría de la dualidad. 4. Métodos de optimización sin restricciones Gradient Method: Algoritmo, convergencia y aplicaciones. Método de Newton: Derivación, análisis de convergencia y limitaciones. Método de las Direcciones Conjugadas: Aplicaciones a problemas cuadráticos. 5. Métodos cuasi-newtonianos Motivación: Necesidad de métodos que no requieran la matriz hessiana. Algoritmos: BFGS, DFP y sus variantes. Análisis de convergencia: propiedades y rendimiento comparativo. 6. Métodos para Problemas con Restricciones Gradiente Proyectado: Formulación y aplicaciones a problemas con restricciones simples. Gradiente Reducido: Aplicaciones a problemas con restricciones lineales. Métodos de penalización: Penalizaciones interiores y exteriores. Método Lagrangeano Aumentado: Combinación de penalizaciones y multiplicadores de Lagrange. 7. Programación Cuadrática Definición y Aplicaciones: Problemas con función objetivo cuadrática y restricciones lineales. Métodos de solución: Algoritmos específicos para programación cuadrática. Conexión con los métodos de Lagrange: Interpretación dual y aplicaciones. 8. Programación convexa Conceptos de convexidad: Funciones convexas, conjuntos convexos y propiedades. Optimización convexa: Condiciones de optimalidad y dualidad en problemas convexos. Aplicaciones: Problemas prácticos que entran dentro de la programación convexa. 

Forma Avaliação: Provas, exercícios e trabalhos computacionais.