Ementa: Revisão de elementos básicos de álgebra linear e de matrizes. Valores e vetores próprios. Semelhança. Matrizes unitárias e normais. Teorema de Schur e suas implicações. Problemas de quadrados mínimos. Decomposições QR e SVD. Aplicações da SVD. Formas canônicas. Aplicações da forma de Jordan. Polinômios e funções de matrizes. Decomposições triangulares. Matrizes simétricas e Hermitianas. Caracterizações variacionais de valores próprios. Congruências. Normas de vetores e de matrizes. Número de condição. Métodos iterativos para sistemas lineares. Localização e perturbação de vetores próprios. Matrizes definidas positivas. Matrizes não-negativas e de Metzler. Equações matriciais de Sylvester e de Stein.

Bibliografia: RA Horn & CR Johnson, “Matrix Analysis”, 2nd Ed., Cambridge University Press, 2013. RA Horn & CR Johnson, “Topics in Matrix Analysis”, Cambridge University Press, 1994. DS Watkins, “Fundamentals of Matrix Computations”, 2nd Ed., John Wiley & Sons, 2002. CD Meyer, “Matrix Analysis and Applied Linear Algebra”, SIAM, 2001.

Conteudo Programático: 1. Revisão de Álgebra Linear e Matrizes Operações básicas com matrizes Matrizes especiais: diagonais, triangulares, simétricas, Hermitianas Determinantes e traço de matrizes Espaços vetoriais e transformações lineares 2. Valores e Vetores Próprios Definição e propriedades dos autovalores e autovetores Multiplicidade algébrica e geométrica Base de autovetores e diagonalização de matrizes 3. Semelhança e Formas Canônicas Definição e propriedades da semelhança de matrizes Forma canônica de Jordan e sua interpretação Redução de matrizes a formas mais simples 4. Matrizes Unitárias e Normais Definição e propriedades das matrizes unitárias Matrizes normais e sua relação com operadores lineares Aplicações em decomposição espectral 5. Teorema de Schur e Decomposições Matriciais Enunciado e aplicações do Teorema de Schur Decomposição triangular de matrizes Decomposições QR e Singular Value Decomposition (SVD) 6. Problemas de Quadrados Mínimos Formulação do problema e solução normal Métodos numéricos para quadrados mínimos Aplicações em ajuste de dados e sistemas sobredeterminados 7. Polinômios e Funções de Matrizes Polinômio característico e teorema de Cayley-Hamilton Funções de matrizes: exponencial, logaritmo e senoidal Aplicações em análise de sistemas dinâmicos 8. Matrizes Simétricas e Hermitianas Propriedades e aplicações Teorema espectral para matrizes simétricas e Hermitianas Caracterizações variacionais de autovalores 9. Normas e Número de Condição Definição e tipos de normas matriciais Número de condição e estabilidade numérica Aplicações na análise de erros em sistemas lineares 10. Métodos Iterativos para Sistemas Lineares Métodos de Jacobi e Gauss-Seidel Métodos baseados em gradiente para grandes sistemas Convergência e análise de complexidade 11. Localização e Perturbação de Autovalores Teoremas de localização de autovalores Perturbação de matrizes e estabilidade espectral Aplicações em controle e otimização 12. Matrizes Definidas Positivas Definição e propriedades fundamentais Critérios de Sylvester para positividade Aplicações em otimização convexa 13. Matrizes Não-Negativas e de Metzler Definição e propriedades Teoria do Perron-Frobenius Aplicações em dinâmica populacional e redes de Markov 14. Equações Matriciais Equação de Sylvester e de Lyapunov Métodos numéricos para solução Aplicações em sistemas dinâmicos e controle

Conteudo Programático em Inglês: 1. Review of Linear Algebra and Matrices Basic operations with matrices Special matrices: diagonal, triangular, symmetric, Hermitian Determinants and trace of matrices Vector spaces and linear transformations 2. Eigenvalues and Eigenvectors Definition and properties of eigenvalues and eigenvectors Algebraic and geometric multiplicity Basis of eigenvectors and diagonalization of matrices 3. Similarity and Canonical Forms Definition and properties of matrix similarity Jordan canonical form and its interpretation Reduction of matrices to simpler forms 4. Unitary and normal matrices Definition and properties of unitary matrices Normal matrices and their relationship with linear operators Applications in spectral decomposition 5. Schur's Theorem and Matrix Decompositions Statement and applications of Schur's Theorem Triangular decomposition of matrices QR decompositions and Singular Value Decomposition (SVD) 6. Least Squares Problems Problem formulation and normal solution Numerical methods for least squares Applications in data fitting and overdetermined systems 7. Polynomials and Matrix Functions Characteristic polynomial and Cayley-Hamilton theorem Functions of matrices: exponential, logarithm and sinusoidal Applications in dynamic systems analysis 8. Symmetric and Hermitian matrices Properties and applications Spectral theorem for symmetric and Hermitian matrices Variational characterizations of eigenvalues 9. Norms and Condition Numbers Definition and types of matrix norms Condition number and numerical stability Applications in the analysis of errors in linear systems 10. Iterative Methods for Linear Systems Jacobi and Gauss-Seidel methods Gradient-based methods for large systems Convergence and complexity analysis 11. Localization and Perturbation of Eigenvalues Eigenvalue localization theorems Perturbation of matrices and spectral stability Applications in control and optimization 12. Positive definite matrices Definition and fundamental properties Sylvester criteria for positivity Applications in convex optimization 13. Non-negative and Metzler matrices Definition and properties Perron-Frobenius theory Applications in population dynamics and Markov networks 14. Matrix equations Sylvester and Lyapunov equations Numerical solution methods Applications in dynamic systems and control

Conteudo Programático em Espanhol: 1. Repaso del álgebra lineal y las matrices Operaciones básicas con matrices Matrices especiales: diagonal, triangular, simétrica, hermitiana Determinantes y trazas de matrices Espacios vectoriales y transformaciones lineales 2. Valores propios y vectores propios Definición y propiedades de los valores propios y los vectores propios Multiplicidad algebraica y geométrica Bases de los vectores propios y diagonalización de matrices 3. Similitud y formas canónicas Definición y propiedades de la semejanza matricial Forma canónica de Jordan y su interpretación Reducción de matrices a formas más simples 4. Matrices unitarias y normales Definición y propiedades de las matrices unitarias Matrices normales y su relación con los operadores lineales Aplicaciones en descomposición espectral 5. Teorema de Schur y descomposiciones matriciales Enunciado y aplicaciones del teorema de Schur Descomposición triangular de matrices Descomposiciones QR y descomposición del valor singular (SVD) 6. Problemas de mínimos cuadrados Formulación del problema y solución normal Métodos numéricos para mínimos cuadrados Aplicaciones en ajuste de datos y sistemas sobredeterminados 7. Polinomios y funciones matriciales Polinomio característico y teorema de Cayley-Hamilton Funciones matriciales: exponencial, logaritmo y senoidal Aplicaciones en el análisis de sistemas dinámicos 8. Matrices simétricas y hermitianas Propiedades y aplicaciones Teorema espectral para matrices simétricas y hermitianas Caracterizaciones variacionales de los valores propios 9. Normas y números de condición Definición y tipos de normas matriciales Número de condición y estabilidad numérica Aplicaciones en el análisis de errores en sistemas lineales 10. Métodos iterativos para sistemas lineales Métodos de Jacobi y Gauss-Seidel Métodos basados en gradientes para sistemas grandes Análisis de convergencia y complejidad 11. Localización y perturbación de valores propios Teoremas de localización de valores propios Perturbación de matrices y estabilidad espectral Aplicaciones en control y optimización 12. Matrices definidas positivas Definición y propiedades fundamentales Criterios de Sylvester para la positividad Aplicaciones en optimización convexa 13. Matrices no negativas y de Metzler Definición y propiedades Teoría de Perron-Frobenius Aplicaciones en dinámica de poblaciones y redes de Markov 14. Ecuaciones matriciales Ecuaciones de Sylvester y Lyapunov Métodos numéricos de solución Aplicaciones en sistemas dinámicos y control

Forma Avaliação: Provas, projetos e listas de exercícios.