Ementa: Sinais contínuos e discretos. Equações a diferenças e diferenciais lineares. Transformada Z. Transformada Z aplicada à probabilidade. Transformada de Fourier. Amostragens de sinais. Ortogonalização de sinais. Transformada de Laplace. Variáveis de Estado. Resolução de Equações de Estado. Observabilidade e Controlabilidade. Estabilidade. Realimentação de Estado. Observadores. Compensadores. Sistemas Variantes no Tempo.

Bibliografia: Chen, C.T., Linear Systems Theory and Design, Third Edition, Oxford University Press, 1999; A. V. Oppenheim and A. S. Willsky with I. T. Young, Signals and Systems, Prentice-Hall Signal Processing Series, 1983.

Conteudo Programático:  Sinais discretos: impulso, degrau unitário, sinais pares e ímpares, sistemas discretos, classificação de sistemas: lineares ou não lineares, variantes ou invariantes no tempo, causais ou não causais, instantâneos ou com memória, BIBO (Bounded-Input Bounded-Output) estáveis ou não BIBO estáveis, resposta ao impulso, convolução, propriedades da convolução, convolução com a resposta ao impulso, resposta ao impulso de sistemas lineares discretos invariantes no tempo e propriedades de causalidade e BIBO estabilidade, auto-função, auto-função de sistemas lineares invariantes no tempo, definição da transformada Z, função de transferência, polos e zeros, solução forçada, resposta em frequência. Transformada Z: Propriedades: soma, sequências à direita e à esquerda, domínios (exterior de um círculo, interior de um círculo, coroa circular), divisão polinomial (algoritmo de Briot-Ruffini), transformada Z da convolução, operador derivada, deslocamento à direita (atraso), deslocamento à esquerda (avanço), combinatória, combinatória com deslocamento, reversão no tempo, valor inicial, valor final, transformada Z inversa, frações parciais. Transformada Z aplicada à probabilidade: Sequências representam a distribuição de probabilidade de uma variável aleatória discreta. Definições: Esperança, momentos, média, variância, independência Transformada Z definida em termos de potências positivas de z. Propriedades: soma, operador derivada, série de Taylor, somatória de variáveis aleatórias independentes Equações a diferenças: Modelos de sistemas discretos: somador, progressão geométrica, somas geométrica, aritmética, aritmética geométrica. Resolução por transformada Z: consideração das condições iniciais, resposta ao impulso e ao degrau. Resolução pelo método dos coeficientes a determinar: solução da equação homogênea, equação característica, modos próprios (raízes simples e múltiplas), polinômio aniquilador da entrada, modos forçados, equação homogênea aumentada, condições iniciais para a equação aumentada, cômputo direto da solução forçadaSinais contínuos: impulso, degrau unitário, sinais pares e ímpares, sistemas contínuos, integral com a função impulso, derivadas de sinais com descontinuidade, classificação de sistemas: lineares ou não lineares, variantes ou invariantes no tempo, causais ou não causais, instantâneos ou com memória, BIBO (Bounded-Input Bounded-Output) estáveis ou não BIBO estáveis, resposta ao impulso, convolução, propriedades da convolução, convolução com a resposta ao impulso, resposta ao impulso de sistemas lineares contínuos invariantes no tempo e propriedades de causalidade e BIBO estabilidade, auto-função, auto-função de sistemas lineares invariantes no tempo, transformada (bilateral) de Laplace, domínio de existência, função de transferência, polos e zeros, solução forçada, resposta em frequência Ortogonalização: Sinais ortogonais, erro médio quadrático, projeção ortogonal, ortogonalização de Gram-Schmidt Série de Fourier: Sinais periódicos, série exponencial, série trigonométrica, valor médio, teorema de Parseval (potência média), série da integral, série da derivada   Transformada de Fourier: Transformada de Fourier e transformada inversa de Fourier.  Propriedades: área, valor na origem, teorema de Parseval (energia), densidade espectral de energia, reversão no tempo, simetria, transformada do impulso, sinais de potência, transformada da função sinal, transformada do degrau unitário, deslocamento no tempo, deslocamento na frequência, transformada de sinal periódico, transformada da convolução, transformada da integral, transformada da derivada, transformada do produto, série a partir da transformada de Fourier, momentos Transformada de Laplace: Transformada bilateral de Laplace, região de convergência no plano complexo (domínios à direita, à esquerda, faixas). Propriedades: área, transformada do impulso, transformada do degrau, sinais à direita e sinais à esquerda, transformada da exponencial, transformada da integral, reversão no tempo, deslocamento em s, derivada em s, transformada inversa de Laplace, transformada da derivada Resolução de Equações Diferenciais por Transformada de Laplace: Transformada unilateral de Laplace, região de convergência, transformada (unilateral) da derivada, valor inicial e valor final, resposta ao impulso e ao degrau, resposta à entrada nula e resposta às condições iniciais nulas, equações diferenciais com derivadas da entrada Resolução de Equações Diferenciais pelo método dos coeficientes a determinar: solução da equação homogênea, equação característica, modos próprios (raízes simples e múltiplas), polinômio aniquilador da entrada, modos forçados, equação homogênea aumentada, condições iniciais para a equação aumentada, cômputo direto da solução forçada  Variáveis de Estado: Representação canônica, pontos de equilíbrio, linearização em torno de pontos de equilíbrio, sistema linearizado, análise de estabilidade do sistema linearizado, espaço de fases, plano de fases, modelos não lineares clássicos, representações canônicas, equação diferencial a partir da representação de estado, representação dual, invariância sob transformações lineares Resolução de Equações de Estado: Solução da equação homogênea, equação característica da matriz dinâmica A, resolução por Laplace, definição de exponencial exp(At), propriedades de exp(At), Teorema de Cayley-Hamilton, cálculo de exp(At), Briot-Ruffini, função de matriz quadrada, similaridade e autovalores, função de matriz similar, função de matriz bloco diagonal, multiplicidade geométrica de autovalores, forma modal, blocos de Jordan, forma de Jordan, função de blocos de Jordan, bloco modal de Jordan, função de bloco modal de Jordan, transformação de similaridade para forma de Jordan, cadeia de autovetores generalizados. Solução da equação não homogênea: resolução por Laplace, conversão à uma equação homogênea aumentada Observabilidade e Controlabilidade:  Propriedades, matriz de controlabilidade e de observabilidade, autovalores controláveis e não controláveis, autovalores observáveis e não observáveis, forma canônica controlável, forma canônica observável,  decomposição canônica (modos não controláveis, modos não observáveis), invariância com transformações de similaridade, cômputo de entrada de controle, dualidade, controlabilidade e observabilidade e formas de Jordan Estabilidade: Estabilidade entrada-saída (BIBO estabilidade), polinômios Hurwitz, expansão de Stieltjes, determinantes de Hurwitz, tabela de Routh. Estabilidade de pontos de equilíbrio (espaço de estados), estabilidade, estabilidade assintótica, teorema de Lyapunov, domínio de atração, estabilidade assintótica em sistemas lineares, relação com BIBO-estabilidade, desigualdade de Lyapunov, equação de Lyapunov, matrizes definidas positivas Realimentação de Estado, observadores de estado, compensadores, sistemas lineares variantes no tempo.

Conteudo Programático em Inglês:  Discrete signals: impulse, unit step, even and odd signals, discrete systems, classification of systems: linear or nonlinear, time varying or invariant, causal or non-causal, instantaneous or with memory, BIBO (Bounded-Input Bounded Output) stable or non-BIBO stable, impulse response, convolution, properties of convolution, convolution with impulse response, impulse response of time-invariant discrete linear systems and properties of causality and BIBO stability, eigenfunction, eigenfunction of time-invariant linear systems, definition of the Z transform, transfer function, poles and zeros, forced solution, frequency response. Z-transform: Properties: sum, right and left sequences, domains in the complex plane (outside of a circle, inside of a circle, circular crown), polynomial division (Briot-Ruffini algorithm), convolution Z-transform, derivative operator, right shift (lag), left shift (lead), combinatorics, combinatorics with shift, time reversal, initial value, final value,inverse Z transform, partial fractions. Z-transform applied to probability: Sequences represent the probability distribution of a discrete random variable. Definitions: Expectation, moments, mean, variance, independence, Z transform defined in terms of positive powers of z. Properties: sum, derivative operator, Taylor series, summation of independent random variables Difference equations: Discrete system models: adder, geometric progression, geometric, arithmetic, arithmetic-geometric sums.  Resolution by Z transform: consideration of initial conditions, impulse and step response. Resolution by the method of coefficients to be determined: solution of the homogeneous equation, characteristic equation, proper modes (simple and multiple roots), input annihilation polynomial, forced modes, augmented homogeneous equation, initial conditions for the augmented equation, direct computation of the forced solution Continuous signals: impulse, unit step, even and odd signals, continuous systems, integral with the impulse function, derivatives of signals with discontinuity, classification of systems: linear or nonlinear, time-varying or time-invariant, causal or non-causal, instantaneous or with memory, BIBO (Bounded-Input Bounded-Output) stable or non-BIBO stable, impulse response, convolution, properties of convolution, convolution with impulse response, impulse response of continuous linear time-invariant systems and properties of causality and BIBO stability, eigenfunction, eigenfunction of linear time invariant systems, (bilateral) Laplace transform, domain of existence, transfer function, poles and zeros, forced solution, frequency response.  Orthogonalization: Orthogonal signals, mean square error, orthogonal projection, Gram-Schmidt orthogonalization Fourier series: Periodic signals, exponential series, trigonometric series, mean value, Parseval's theorem (average power), integral series, derivative series Fourier transform: Fourier transform and inverse Fourier transform. Properties: area, value at the origin, Parseval's theorem (energy), energy spectral density, time reversal,  symmetry, impulse transform, power signals, signal function transform, unit step transform, time shift, frequency shift, periodic signal transform, convolution transform, integral transform, derivative transform, product transform, series from Fourier transform, moments Laplace transform: Bilateral Laplace transform. convergence region, domains on the right, on the left, bands in the complex plane. Properties: area, impulse transform, step transform, right-hand signs and left-hand signs, exponential transform, integral transform, time reversal, displacement in s, derivative in s, inverse Laplace transform, derivative transform Solving Differential Equations by Laplace Transform: One-sided Laplace transform, convergence region, (one-sided) derivative transform, initial value and final value, impulse and step response, response to zero input and response to zero initial conditions, differential equations with input derivatives Solving Differential Equations by the method of coefficients to be determined: solution of the homogeneous equation, characteristic equation, eigenmodes (simple and multiple roots), input annihilation polynomial, forced modes, augmented homogeneous equation, initial conditions for the augmented equation, direct computation of the forced solution State variables: Canonical representation, equilibrium points, linearization around equilibrium points, linearized system, stability analysis of the linearized system, phase space, phase plane, classical nonlinear models, canonical representations, differential equation from the state representation, dual representation, invariance under linear transformations Solving State Equations: Solution of the homogeneous equation, characteristic equation of the dynamic matrix A, resolution by Laplace, definition of exponential exp(At), properties of exp(At), Cayley-Hamilton theorem, calculation of exp(At), Briot Ruffini, square matrix function, similarity and eigenvalues, similar matrix function, block-diagonal matrix function, geometric multiplicity of eigenvalues, modal form, Jordan blocks, Jordan form, Jordan block function, Jordan modal block, modal block function Jordan form, similarity transformation to Jordan form, generalized eigenvector chain. Solution of the inhomogeneous equation: solving by Laplace, conversion to an augmented homogeneous equation Observability and Controllability: properties, controllability and observability matrix, controllable and uncontrollable eigenvalues, observable and non-observable eigenvalues, controllable canonical form, observable canonical form, canonical decomposition (non-controllable modes, non-observable modes), invariance with similarity transformations, computation of control input, duality, controllability and observability and Jordan forms Stability: Input-output stability (BIBO stability), Hurwitz polynomials, Stieltjes expansion, Hurwitz determinants, Routh table.  Stability of equilibrium points (state space), stability, asymptotic stability, Lyapunov theorem, domain of attraction, asymptotic stability in systems linear, relation with BIBO-stability, Lyapunov inequality, Lyapunov equation, positive definite matrices State feedback, state observers, compensators, linear time-varying systems.

Conteudo Programático em Espanhol: Señales discretas: impulso, escalón unitario, señales pares e impares, sistemas discretos. Clasificación de los sistemas: lineales o no lineales, variables en el tiempo o invariantes en el tiempo, causal o no causal, instantáneo o con memoria, BIBO (Bounded-Input Bounded-Output) estable o no BIBO estable, respuesta al impulso, convolución, propiedades de la convolución, convolución con respuesta al impulso. Respuesta al impulso de sistemas discretos lineales invariantes en el tiempo y propiedades de causalidad y estabilidad BIBO, función propia, función propia de sistemas lineales invariantes en el tiempo, definición de la transformada Z, función de transferencia, polos y ceros, solución forzada, respuesta en frecuencia. Transformada Z: Propiedades: suma, secuencias derecha e izquierda, dominios en el plano complejo (exterior de un círculo, interior de un círculo, corona circular), división polinomial (algoritmo de Briot-Ruffini), transformada Z de convolución, operador de derivada, desplazamiento a la derecha (retardo), desplazamiento a la izquierda (avance), combinatoria, combinatoria con desplazamiento, inversión temporal, valor inicial, valor final, transformada Z inversa, fracciones parciales. Transformada Z aplicada a la probabilidad: Las secuencias representan la distribución de probabilidad de una variable aleatoria discreta. Definiciones: Expectativa, momentos, media, varianza, independencia. Transformada Z definida en términos de potencias positivas de z Propiedades: suma, operador de derivada, serie de Taylor, suma de variables aleatorias independientes Ecuaciones diferenciales: Modelos de sistemas discretos: sumador, progresión geométrica, sumas geométricas, aritmética, aritmético geométrico. Resolución por transformada Z: consideración de condiciones iniciales, respuesta al impulso y al escalón Resolución por el método de coeficientes a determinar: solución de la ecuación homogénea, ecuación característica, modos propios (raíces simples y múltiples), polinomio de aniquilación de entrada, modos forzados, ecuación homogénea aumentada, Condiciones iniciales para la ecuación aumentada, cálculo directo de la solución forzada. Señales continuas: impulso, escalón unitario, señales pares e impares, sistemas continuos, integral con la función impulso, derivadas de señales con discontinuidad.  Clasificación de los sistemas: lineales o no lineales, variables en el tiempo o invariantes en el tiempo, causal o no causal, instantáneo o con memoria, BIBO (Bounded-Input Bounded-Output) estable o no BIBO estable, respuesta al impulso, convolución, propiedades de la convolución, convolución con respuesta al impulso. Respuesta al impulso de sistemas lineales continuos invariantes en el tiempo y propiedades de causalidad y estabilidad BIBO, función propia, función propia de sistemas lineales invariantes en el tiempo, transformada de Laplace (bilateral), dominio de existencia. Función de transferencia, polos y ceros, solución forzada, respuesta en frecuencia Ortogonalización: Señales ortogonales, error cuadrático medio, proyección ortogonal, ortogonalización de Gram-Schmidt Serie de Fourier: Señales periódicas, series exponenciales, series trigonométricas, valor medio, teorema de Parseval (potencia media), serie da integral, serie da derivada Transformada de Fourier: Transformada de Fourier y transformada de Fourier inversa. Propiedades: área, valor en el origen, teorema de Parseval (energía), densidad espectral de energía, inversión del tiempo, simetría, transformada de impulso, señales de potencia, transformada de la función señal, transformada de paso unitario, desplazamiento temporal, desplazamiento de frecuencia, transformada de señales periódicas, transformación de convolución, transformada de la integral, transformada de la derivada, transformada del producto, serie de la transformada de Fourier, momentos Transformada de Laplace: Transformada de Laplace bilateral, región de convergencia en el plano complejo (dominios derecho e izquierdo, bandas). Propiedades: área, transformada de impulso, transformada de escalón, Señales de la mano derecha y señales de la mano izquierda, transformada da exponencial, transformada da integral, inversión temporal, desplazamiento en s, derivada en s, transformada inversa de Laplace, transformada de la derivada Resolución de ecuaciones diferenciales mediante la transformada de Laplace: Transformada de Laplace unilateral, región de convergencia, transformada derivada (unilateral), valor inicial y valor final. Respuesta de impulso y escalón, respuesta de entrada cero y respuesta de condición inicial cero, ecuaciones diferenciales con derivadas de la entrada Resolución de ecuaciones diferenciales por el método de coeficientes a determinar: solución de la ecuación homogénea, ecuación característica, modos propios (raíces simples y múltiples), polinomio de aniquilación de entrada, modos forzados, ecuación homogénea aumentada. Condiciones iniciales para la ecuación aumentada, cálculo directo de la solución forzada. Variables de estado: Representación canónica, puntos de equilibrio, linealización alrededor de puntos de equilibrio, sistema linealizado. Análisis de estabilidad de sistemas linealizados, espacio de fases, plano de fases, modelos no lineales clásicos, representaciones canónicas, ecuación diferencial de representación estatal, representación dual, invariancia bajo transformaciones lineales Resolución de ecuaciones de estado: Solución de la ecuación característica de la matriz dinámica A, solución de la ecuación homogénea, resolución por Laplace, definición de exp(At) exponencial, propiedades de exp(At), teorema de Cayley-Hamilton, cálculo de exp(At), Briot-Ruffini, función matricial cuadrada, similitud y valores propios, función matricial similar, función matricial diagonal por bloques, multiplicidad geométrica de valores propios, forma modal, bloques de Jordan, forma de Jordan, función de bloque de Jordan, bloque modal de Jordan, Función de bloque modal de Jordan, transformación de similitud para la forma de Jordan, cadena de vectores propios generalizada.  Solución de la ecuación no homogénea: resolución por Laplace, conversión a una ecuación homogénea aumentada Observabilidad y controlabilidad: propiedades, matriz de controlabilidad y observabilidad, valores propios controlables y no controlables, valores propios observables y no observables, forma canónica controlable, forma canónica observable, descomposición canónica (modos incontrolables, modos no observables), invariancia con transformaciones de similitud, cálculo de entrada de control, dualidad, controlabilidad y observabilidad y las formas de Jordan Estabilidad: Estabilidad de entrada-salida (estabilidad BIBO), polinomios de Hurwitz, expansión de Stieltjes, determinantes de Hurwitz, tabla de Routh. Estabilidad del punto de equilibrio (espacio de estados), estabilidad, estabilidad asintótica, teorema de Lyapunov, dominio de atracción, estabilidad asintótica en sistemas lineales, relación con la estabilidad BIBO, desigualdad de Lyapunov, ecuación de Lyapunov, matrices definidas positivas Retroalimentación de estado, observadores de estado, compensadores, sistemas lineales variables en el tiempo.

Forma Avaliação: Média aritmética de três provas presenciais.